Halaman
Modul Matematika Umum Kelas 11 Tahun 2020Materi Pokok Pembelajaran:INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR Integral subtitusi, gradien garis singgung, kurva, fungsi kecepatan, fungsi percepatan, anti turunan, kalkulus difrensial, turunan satu fungsi, rumus jarak dan kecepatan, rumus percepatan dan kecepatan, persamaan kurva.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2INTEGRAL TAK TENTUFUNGSI ALJABARMATEMATIKA UMUMKELAS XIPENYUSUNTitin Suryati Sukmadewi, S.Si., M.Pd.Unit Kerja:SMA Negeri 1 Sumedang
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN....................................................................................................................................................2DAFTAR ISI...................................................................................................................................................3GLOSARIUM..................................................................................................................................................4PETA KONSEP..............................................................................................................................................5PENDAHULUAN..........................................................................................................................................6A. Identitas Modul.........................................................................................................6B. Kompetensi Dasar.....................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi..........................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul...................................................................................6E. Materi Pembelajaran.................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1............................................................................................................8INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABAR....................................................................................8A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................8B.Uraian Materi.............................................................................................................8C.Rangkuman..............................................................................................................12D.Latihan Soal.............................................................................................................13E.Penilaian Diri...........................................................................................................17KEGIATAN PEMBELAJARAN 2..........................................................................................................17MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL TAK TENTU....................................17A.Tujuan Pembelajaran..............................................................................................18B.Uraian Materi...........................................................................................................18C.Rangkuman..............................................................................................................21D.Latihan Soal.............................................................................................................22E.Penilaian Diri...........................................................................................................25EVALUASI....................................................................................................................................................26DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................................29
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMIntegral:Operasi invers (balikan) dari turunanIntegral tak Tentu:Integral yang tidak disertai dengan batasan-batasan (batas atas atau batas bawah)Integral Substitusi:Pengintegralan yang cara penyelesaiannya menggunakan pemisalan sebagai pengganti sementara sebagian atau seluruh fungsi yang akan diintegralkanGradien Garis Singgung Kurva:Nilai turunan pertama fungsi kurva di absis titik singgungnyaFungsi Kecepatan:Turunan pertama fungsi jarakFungsi Percepatan:Turunan pertama fungsi kecepatan
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPIntegral tak TentuIntegral sebagai Anti TurunanRumus Dasar IntegralIntegral Metoda SubstitusiMasalah Terkait IntegralPersamaan Kurva dan Gradien Garis singgungRumus Jarak dan KecepatanRumus Kecepatan dan Percepatan
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika PeminatanKelas:XIAlokasi Waktu:8 x 45 menitJudul Modul:Integral Tak TentuB. Kompetensi Dasar3.10Mendeskripsikan integral tak tentu (anti turunan) fungsi aljabar dan menganalisis sifat-sifatnya berdasarkan sifat-sifat turunan fungsi.4.10Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan integral tak tentu (anti turunan) fungsialjabarC. Deskripsi Singkat MaterioHitung integral erat kaitannya dengan kalkulus diferensial atau turunan suatu fungsi. Integral ditemukan terlebih dahulu sebelum turunan, sebelum akhirnya diketahui bahwa ternyata integral dan turunan ternyata mempunyai hubungan. Walaupun integral ditemukan terlebih dahulu, hitung integral akan lebih mudah dipahami dengan mudah setelah kita mempelajari turunan. oModul ini membahas tentang menentukan integral sebuah fungsi aljabar sebagai anti turunan, rumus-rumus dasar dan teknik substitusi. Seperti halnya turunan mempelajari tentang gradien garis singgung suatu kurva, maka integral pun dapat digunakan kebalikannya yaitu dapat menentukan persamaan suatu kurva jika diketahui gradien garis singgung kurva tersebut. Begitu pula dengan kecepatan sebagai turunan dari persamaan jarak, dan percepatan sebagai turunan dari kecepatan. Integral dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan jarak, kecepatan, dan percepatan.D. Petunjuk Penggunaan ModulSebelum Ananda membaca isi modul, terlebih dahulu membaca petunjuk khusus dalam penggunaan modul agar memperoleh hasil yang optimal.1.Sebelum memulai menggunakan modul, mari berdoa kepada Tuhan yang Maha Esa agar diberikan kemudahan dalam memahamimateri ini dan dapat mengamalkan dalam kehidupan sehari-hari.2.Sebaiknya Ananda mulai membaca dari pendahuluan, kegiatan pembelajaran, rangkuman, hingga daftar pustaka secara berurutan.3.Setiap akhir kegiatan pembelajaran, Ananda mengerjakan latihan soal dengan jujur tanpa melihat uraian materi.4.Ananda dikatakan tuntas apabila dalam mengerjakan latihan soal memperoleh nilai ≥75sehingga dapat melanjutkan ke materi selanjutnya.5.Jika Ananda memperoleh nilai <75maka Ananda harus mengulangi materi pada modul ini dan mengerjakan kembali latihan soal yang ada.
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Integral Tak Tentu Fungsi AljabarKedua : Masalah yang Melibatkan Integral Tak Tentu
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI ALJABARA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkankalian dapat menentukan integral tak tentu fungsi aljabar.B.Uraian MateriIntegral FungsiSetiap hari tentu saja kita sering melakukan aktivitas yang saling berkebalikan, seperti naik dan turun, maju dan mundur, menghirup udara dan menghembuskan udara, dan lain sebagainya. Begitu pula dalam matematika kita mengenal operasi yang salingberkebalikan atau saling invers seperti pengurangan dengan penjumlahan, pembagian dengan perkalian, pemangkatan dengan penarikan akar dan sebagainya. Nahh kalian pernah mempelajari turunan dari sebuah fungsi, lalu operasi apakah yang merupakan kebalikan atau invers dari turunan?Kalian tentu masih ingat bahwa turunan dari sebuah fungsi 𝑓(𝑥)kita tulis 𝑓′(𝑥). Nah seandainya diketahui sebuah fungsi 𝑓(𝑥)adalah turunan dari sebuah fungsi 𝐹(𝑥), bagaimana kita dapat menentukan fungsi 𝐹(𝑥)?1.Integral sebagai Anti TurunanJika 𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥)maka 𝐹(𝑥)adalah antiturunan/antiderivatif dari 𝑓(𝑥)
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Jika 𝑦=𝐹(𝑥)maka '( )dyFxdx=⇔()dyfxdx=⇔𝑑𝑦=𝑓(𝑥)𝑑𝑥⇔∫𝑑𝑦=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥⇔𝑦=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥Jika ()()dFxfxdx=maka ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝑥)+𝐶untuk setiap bilangan real CLambang adalah simbol integral, 𝑓(𝑥)yaitu fungsi di samping simbol integral disebut integran, dan ()fxdxdisebut integral tak tentudan dibaca integral dari 𝒇(𝒙)terhadap 𝒙.Jadi dari persamaan ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝑥)+𝐶, turunan dari ruas kanan adalah integran di ruas kiri.Berikutnya, bagaimana carakita menentukan integral tak tentu dari sebuah fungsi 𝑓(𝑥)? Simak pada bagian berikutnya ya.2.Rumus-rumusIntegral Tak Tentua.∫𝑑𝑥=𝑥+𝐶b.∫𝑎𝑑𝑥=𝑎𝑥+𝐶c.Integral PangkatUntuk setiap bilangan real 𝑛≠−1, berlaku bahwa:111nnxdxxCn+=++Contoh 1:∫𝑥4𝑑𝑥=Alternatif Penyelesaian:∫𝑥4𝑑𝑥=14+1𝑥4+1+𝐶=15𝑥5+𝐶Contoh 2:∫1𝑥3𝑑𝑥=Alternatif Penyelesaian:∫1𝑥3𝑑𝑥=∫𝑥−3𝑑𝑥=1−3+1𝑥−3+1+𝐶Proses mendapatkan 𝑑𝑦𝑑𝑥dari 𝑦(suatu fungsi 𝑥)disebut diferensial, sedangkan proses mendapatkan 𝑦dari 𝑑𝑦𝑑𝑥disebut Integral
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10=1−2𝑥−2+𝐶=1−2𝑥2+𝐶Contoh 3:∫𝑥√𝑥𝑑𝑥=Alternatif Penyelesaian:∫𝑥√𝑥𝑑𝑥=∫𝑥32⁄𝑑𝑥3121312xC+=++52152xC=+d.Integral Perkalian SkalarUntuk setiap bilangan real 𝑘berlaku:∫𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑘∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥Contoh:∫4𝑥3𝑑𝑥=Alternatif Penyelesaian:∫4𝑥3𝑑𝑥=4∫𝑥3𝑑𝑥=4(13+1𝑥3+1)+𝐶=4(14𝑥4)+𝐶=𝑥4+𝐶e.Integral Penjumlahan dan PenguranganDalam integral berlaku sifat linieritas yaitu:∫(𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥))𝑑𝑥=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥∫(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥−∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥Contoh:∫(2𝑥−1)(𝑥+3)𝑑𝑥=Alternatif Penyelesaian:∫(2𝑥−1)(𝑥+3)𝑑𝑥=∫(2𝑥2+5𝑥−3)𝑑𝑥=∫2𝑥2𝑑𝑥+∫5𝑥𝑑𝑥−∫3𝑑𝑥=2∫𝑥2𝑑𝑥+5∫𝑥𝑑𝑥−∫3𝑥0𝑑𝑥=(22+1𝑥2+1+𝐶1)+(51+1𝑥1+1+𝐶2)−(30+1𝑥0+1+𝐶3)=23𝑥3+52𝑥2−3𝑥+𝐶1+𝐶2+𝐶3
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11=23𝑥3+52𝑥2−3𝑥+𝐶f.IntegralMetodaSubstitusiPengintegralan dengan metoda substitusi memiliki cara penyelesaian menggunakan pemisalan sebagai pengganti sementara sebagian atau seluruh fungsi yang akan diintegralkanBentuk umum:∫𝑓(𝑢)(𝑑𝑢𝑑𝑥)𝑑𝑢=∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢Contoh 1:∫(𝑎𝑥+𝑏)𝑛𝑑𝑥=Alternatif Penyelesaian:Misalkan 𝑢=𝑎𝑥+𝑏𝑑𝑢=𝑎𝑑𝑥𝑑𝑥=1𝑎𝑑𝑢∫(𝑎𝑥+𝑏)𝑛𝑑𝑥=∫(𝑢)𝑛1𝑎𝑑𝑢=1𝑎∫𝑢𝑛𝑑𝑢=1𝑎1(𝑛+1)𝑢𝑛+1+𝐶=1𝑎(𝑛+1)𝑢𝑛+1+𝐶=1𝑎(𝑛+1)(𝑎𝑥+𝑏)𝑛+1+𝐶Contoh 2:∫(𝑥+1)(𝑥2+2𝑥+1)4𝑑𝑥=Alternatif Penyelesaian:Misalkan 𝑢=𝑥2+2𝑥+1𝑑𝑢=(2𝑥+2)𝑑𝑥𝑑𝑢=2(𝑥+1)𝑑𝑥𝑑𝑥=12(𝑥+1)𝑑𝑢∫(𝑥+1)(𝑥2+2𝑥+1)4𝑑𝑥=∫(𝑥+1)𝑢412(𝑥+1)𝑑𝑢=12∫(𝑥+1)𝑢41(𝑥+1)𝑑𝑢=12∫(𝑥+1)𝑢41(𝑥+1)𝑑𝑢=12∫𝑢4𝑑𝑢=121(4+1)𝑢4+1+𝐶=110𝑢5+𝐶=110(𝑥2+2𝑥+1)5+𝐶
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12C.Rangkuman1.Jika ()()dFxfxdx=maka ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝑥)+𝐶untuk setiap bilangan real C2.∫𝑑𝑥=𝑥+𝐶3.∫𝑎𝑑𝑥=𝑥+𝐶4.Untuk setiap bilangan real 𝑛≠−1, berlaku bahwa:111nnxdxxCn+=++5.Untuk setiap bilanganreal 𝑘berlaku:∫𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑘∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥6.Dalam integral berlaku sifat linieritas yaitu:∫(𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥))𝑑𝑥=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥∫(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))𝑑𝑥=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥−∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥7.Bentuk umum integral metoda substistusi:∫𝑓(𝑢)(𝑑𝑢𝑑𝑥)𝑑𝑢=∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢
Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.10@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13D.Latihan SoalPilihlah jawaban yang paling tepat.1.Hasil dari ∫5𝑑𝑥adalah ....A.CB.0C.5𝑥+𝐶D.52𝑥2+𝐶E.5𝑥2+𝐶2.Hasil dari ∫𝜋𝑑𝑥adalah ....A.𝜋𝑥+𝐶B.12𝜋2+𝐶C.0D.𝜋𝐶E.𝜋+𝐶3.Hasil dari ∫1𝑥2√𝑥𝑑𝑥adalah ....A.27𝑥3√𝑥+𝐶B.25𝑥2√𝑥+𝐶C.23𝑥√𝑥+𝐶D.−23𝑥√𝑥+𝐶E.−25𝑥2√𝑥+𝐶4.Hasil dari ∫𝑥(6𝑥−2)𝑑𝑥=....A.12𝑥−2+𝐶B.12𝑥2−2𝑥+𝐶C.6𝑥3−2𝑥2+𝐶D.2𝑥3−𝑥2+𝐶E.𝑥3−12𝑥2+𝐶5.Hasil dari ∫(6𝑥+2)(𝑥−3)𝑑𝑥=....A.6𝑥2−16𝑥−6+𝐶B.12𝑥−16+𝐶C.2𝑥3−8𝑥2−6𝑥+𝐶D.6𝑥3−16𝑥2−6𝑥+𝐶E.13𝑥3−12𝑥2+𝐶6.Hasil ∫(4𝑥+3)(4𝑥2+6𝑥−9)9𝑑𝑥adalah ....A.110(4𝑥2+6𝑥−9)10+𝐶B.115(2𝑥−3)10+𝐶C.120(2𝑥−3)10+𝐶D.120(4𝑥2+6𝑥−9)